2002 年 5 月 30 日，全国中小学校长素质教育观摩团前往上海南洋模范中 学参观。熊晓东为观摩团上了一堂题为“关于边际利润函数的讨论(数列的应用)” 的数学课堂教学展示课。
数学教学现代化就是把数学教学置于现代化的生活情境中，把数学知识的传 授逐步转化为学生适应现代化生活和适应未来发展需要的数学素养和数学能力 的一种教育观念。问题解决和概念理解为核心的数学课程、灵活思考和将数学应 用于创新实践为重点的教学思想、热烈活跃课堂讨论的教学形式、先进的多媒体 教育技术，将教师如何对教学目标的选择、如何对教师与学生在学习讨论中角色 定位等数学课堂教学各个环节都作了很好的表述。人们明显地感觉到“注重过程 和记忆的数学教学”已经落后于时代。
观摩团成员评价说：“前沿的教学理论，成熟、大气的实践展示，这是一堂具 有国际水准的数学课堂教学。”
课 题：关于边际利润函数的讨论(数列的应用) 执教教师：熊晓东 执教班级：上海南洋模范中学高二(5)班 执教时间：2002 年 5 月 30 日
课堂教学实录：
定义：若有利润函数P(x)，收入函数为R(X)，成本函数为C(x)，那么P(x)= R(x) - C(x)。边际利润函数MP(x)定义为MP(x)-P(x+1)-P(x)。
例一、如果某企业收入函数R(x)= 50x，成本函数C(x)= 30x，x 是产品数量，x ∈ N。求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)的表达式。
解：
MP(x) = P(x+1)-P(x) =20(x+1)-20x=20
答：利润函数P(x)=20x(x ∈ N)，边际利润函数MP(x) = 20 (x ∈ N)。
例二、如果某企业收入函数R(x) = 50x，成本函数C(x) = 30x+2000 (30x 为可变成本，2000 为固定成本)，x 是产品数量，x ∈ N。
（1） 求利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x)的表达式；
（2） 为确保企业不亏损，产品数量x 应在什么范围。
解:
(2) 企业不亏损，则利润P(x) ≥ 0 P(x) = 20x – 2000 ≥ 0=> x ≥ 100
答：（1）利润函数P(x) =20x-2000 (x ∈ N)，边际利润函数MP(x) =20 (x ∈ N)；
(3) 产量不少于100 个，企业就不亏损。
例三、某公司每月最多生产100 台报警系统装置，生产x 台（x>0）的收入函数为R(x) = 3000x -20x2，其成本函数为C(x) = 500x + 4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差。
（1） 求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； （2） 利润函数P(x)的最大值与边际利润函数MP(x)的关系是什么？
理 解 二 ： 在例一中，P( x )是一个一次函数，MP( x )是一个常数，说明每增加一个产品所获得的利润是一个常量，产品越多，利润越高。
在例二中，由于增加了固定成本，为使企业确保利润，产量必须不少于100。
以上两例，企业生产产品根据市场的特点，多数为消耗品，它的需求量很大很大，例如：毛巾、牙刷、牙膏，等等。
在例三中，MP(x)是一个减函数，这就说明工厂每多生产一个产品，这个产品的利润在逐渐地减小。在出现MP(x)= 0之前，尽管利润在减小，但是工厂的利润总额是怎么一个情况呢？一一在增加。当MP(x)=0的时候，工厂的利润总额又是一个什么情况呢？一一达到了最大值。这一般表现为耐用品，特殊产品，例如：生产地铁、磁悬浮列车所需要的机床等。
下面，我们来讨论几个问题。
1.以例三为主，讨论边际利润函数的意义是什么？
2.影响边际利润函数MP(x)的因素是什么？
3.从市场经济的视角来谈边际利润函数对企业生产决策所起的作用。
总 结
1.边际利润函数揭示了事物的实际规律。 虽然MP(x)是一个减函数，说明每多生产一台产品，该台产品的利润在逐渐地减少，但是由于MP(x)的值是大于零的，因此该台产品的利润还是有的，总利润还是在增加。 当MP(z)=0的时候，总利润实际上到达了最大值，因为接下去MP(x)就要小于零，说明再多生产一台产品工厂非但没有利润增加反而要贴钱了，这样总利润事实上下降了。
2.收入函数R(x)不是一个书上可以找到的公式，它是市场经济条件下的一个经验公式。 影响边际利润函数MP(x)的因素除了降低成本以外，收入函数是一个重要因素，例如，增加市场的需求量(挖掘市场的潜力，开拓新的市场)。
3.为企业制订生产指标提供了量的依据。