上海未来路进修学院

数学高考压轴题系列专题讲座

2021年3月

       高考是带有区分度的选拔性考试，既要考察高中学科知识掌握是否合格，又要分层次选拔出运用得更好、思维更超前灵活的学生，所以高考试卷的题目是带有明显梯度的，70%为基础题，20%为有一定思维要求的简答题，10%为带有挑战性的题，即所谓的压轴题。

        即使是压轴题，也不是全部很难，它一般都有三小问，第一小问一般都比较容易，第二和第三也是难度呈阶梯型的，最难的是第三小问。多年来，高考压轴题总是在三大内容上轮换出现：1，函数；2，平面解析几何；3，数列。我们把2012年-2020年上海高考数学卷的压轴题列一个表，可以清楚看到分布的状态。

       如果压轴题是平面解析几何题，一般会与向量相结合，因为向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的双重身份，会使解析几何题更是光彩熠熠。如果压轴题是数列题，一般涉及到递推，有时候还会与函数结合，因为递推思想使数列难度骤然上升。如果压轴题是函数题，一般会用初等数学的对数函数，或者三角函数等做基础，这样使函数具有鲜明的特性，如单调性、周期性、奇偶性、对称性或者最值等等，还有，它一定会要求考生用高等数学的思想去思考、分析问题。

       一般地说来，一道好的压轴题好在哪里呢？第一，内容要丰满，也就是考到的知识点要多，要几乎把这部分知识全部包容在里边。第二，阶梯型要明显，既要做到让每一个同学都能参与，又要做到不同能力的同学在这道题的难度升高的直线上在各自不同的高度位置上跌落，层次性强。第三，最难的地方，要让成绩最好的，能力最强的同学也不能容易取胜，许多学生一直做到考试终场铃声响起，他们满脸通红不得不掩卷而苦笑，这苦笑，带有一丝丝遗憾，一丝丝不服气，又一丝丝的无奈。第四，这压轴题的第三小问在当年的考试中一定要有人全部做出来，拿满分，最好这样的人在全上海是个位数。那么这道压轴题以及整张试卷的命题编写简直好到极致了。

        每个同学都要勇敢地面对压轴题，敢于挑战压轴题，敢于取胜压轴题。为了让大家更多更好地了解数学高考压轴题，我们特地在高考最后冲刺时刻组织本数学高考压轴题系列讲座，对“不动点、稳定点、二阶周期点”、“二次函数根的分布”、“函数”、“递推数列”等一系列（几乎全部）重要的数学概念、题型及解题策略做深度研究与讨论以及对近七年来的上海数学高考压轴题做详细的讲解和点评。

目 录

第一讲：   为什么函数y=x+1/x在高考中屡考不衰

第二讲：   高考压轴题“不动点”“稳定点”和“二阶周期点”的深度研究与讨论

             （高考与高等数学及数学竞赛思想对接专题）

第三讲：   高考压轴题向量在平面解析几何中的应用

第四讲：   高考压轴题递推数列的深度研究与解题策略

             （高考与高等数学及数学竞赛思想对接专题）

第五讲：   二次函数根的分布的深度研究与讨论

              （高考与高等数学及数学竞赛思想对接专题）

第六讲：   高考压轴题函数的深度研究与解题策略

              （高考与高等数学及数学竞赛思想对接专题）

第七讲：   函数与平面解析几何中的对称问题

第八讲：   直线系、圆系和二次曲线系的深度研究与解题策略

第九讲：   2012-2020近年上海高考数学最后两道压轴题详细讲解和点评（一）

第十讲：   2012-2020近年上海高考数学最后两道压轴题详细讲解和点评（二）

课时安排：   每一讲两个半小时，共25课时

适合对象：  所有应届高三学生    高一、高二数学尖子生